Dada a função
, determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto de abscissa 1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa é 1. Isso envolve conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente, e um pouco de geometria para a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, que é a ordenada do ponto onde vamos tangenciar. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos da derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de
é:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 4
Vamos calcular
para saber a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo
,
e
:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se duas retas são perpendiculares, o produto de suas inclinações é -1. Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da reta com
e o ponto
:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.