Dada a função f(x) = x^2 - x - 2, determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto onde a abscissa é 1. Isso envolve conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente, e um pouco de geometria para a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , que é a ordenada do ponto onde vamos tangenciar. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos da derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Vamos calcular para saber a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo , e :
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se duas retas são perpendiculares, o produto de suas inclinações é -1. Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da reta com e o ponto :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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