Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo. f(x) = arctg(cos(x))

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente composta com o cosseno de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função arctangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções composta. Podemos pensar em como uma função onde . No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função externa . A derivada da arctangente é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .

Passo 4

Em seguida, derivamos a função interna . A derivada do cosseno é:
Então, a taxa de variação do cosseno em relação a é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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