Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente composta com o cosseno de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função arctangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções composta. Podemos pensar em
como uma função
onde
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função externa . A derivada da arctangente é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a
é
.
Passo 4
Em seguida, derivamos a função interna
. A derivada do cosseno é:
Então, a taxa de variação do cosseno em relação a
é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna, temos:
Resposta
A derivada da função é: