Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai calcular as derivadas de
até a segunda ordem. Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada
e depois a segunda derivada
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
. Usamos a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas. A regra geral é:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a primeira derivada:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada
. Vamos derivar
usando a regra do quociente, já que temos uma fração:
A regra do quociente é:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada de
é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja
a distância de
a
. Expresse
em função de
, sabendo que
é um ponto do gráfico de
.