Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular as derivadas de até a segunda ordem. Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada e depois a segunda derivada . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Usamos a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas. A regra geral é:
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a primeira derivada:

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada . Vamos derivar usando a regra do quociente, já que temos uma fração:
A regra do quociente é:
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada de é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja a distância de a . Expresse em função de , sabendo que é um ponto do gráfico de .