Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A gente tem a função:
Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a regra do quociente, a regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar entender como essas regras funcionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que dividir por é o mesmo que multiplicar por . Então, podemos reescrever a função assim:
Isso nos ajudará a aplicar a regra do produto de forma mais direta.

Passo 3

Agora, precisamos derivar essa função usando a regra do produto. A regra do produto diz que se você tem uma função , a derivada é:
Aqui, vamos definir:
Então, precisamos encontrar e separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando . Para isso, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é .
Aqui, e . Então:
Porque a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Também usamos a regra da cadeia aqui. Definimos e . Então:
A derivada de é .

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando :
Isso organiza a expressão de forma mais compacta.

Resposta

A derivada da função é:

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Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.