Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A gente tem a função:
Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a regra do quociente, a regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar entender como essas regras funcionam para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Então, podemos reescrever a função assim:
Isso nos ajudará a aplicar a regra do produto de forma mais direta.
Passo 3
Agora, precisamos derivar essa função usando a regra do produto. A regra do produto diz que se você tem uma função
, a derivada é:
Aqui, vamos definir:
Então, precisamos encontrar
e
separadamente.
Passo 4
Vamos começar derivando
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é
.
Aqui,
e
. Então:
Porque a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Também usamos a regra da cadeia aqui. Definimos
e
. Então:
A derivada de
é
.
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando
:
Isso organiza a expressão de forma mais compacta.
Resposta
A derivada da função é:
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Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.