Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem (
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar a função tangente e aplicar as regras de derivação sucessivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de
em relação a
é
. Isso é uma regra básica das derivadas de funções trigonométricas. Então, a primeira derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Para isso, precisamos derivar
. Vamos usar a regra da cadeia aqui. Sabemos que:
Então, aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 4
Agora, vamos para a terceira derivada
. Precisamos derivar
. Vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão. A regra do produto diz que:
Aqui,
e
. Primeiro, derivamos
:
E, como já sabemos,
. Então, aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas de
até a terceira ordem são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja
a distância de
a
. Expresse
em função de
, sabendo que
é um ponto do gráfico de
.
Determine
na função
, definida em
, para que a imagem seja
.