Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular as derivadas de até a terceira ordem ( ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar a função tangente e aplicar as regras de derivação sucessivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de em relação a é . Isso é uma regra básica das derivadas de funções trigonométricas. Então, a primeira derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar . Vamos usar a regra da cadeia aqui. Sabemos que:
Então, aplicando a regra da cadeia para :

Passo 4

Agora, vamos para a terceira derivada . Precisamos derivar . Vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão. A regra do produto diz que:
Aqui, e . Primeiro, derivamos :
E, como já sabemos, . Então, aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas de até a terceira ordem são:

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Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja a distância de a . Expresse em função de , sabendo que é um ponto do gráfico de .
Determine na função , definida em , para que a imagem seja .