Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem 3 da função
. Isso significa que vamos encontrar a primeira, a segunda e a terceira derivada dessa função. Para isso, vamos usar conceitos básicos de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
.
A função é da forma
, onde
e
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Sabemos que a derivada de
é
. Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada. Temos:
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos o produto de duas funções:
e
. A derivada do produto
é
.
Primeiro, derivamos
:
E a derivada de
é
. Então:
Simplificando:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a terceira derivada. Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
-
Para
, usamos a regra do produto novamente: -
Para
, a derivada é:
Juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A terceira derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
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Calcule aproximadamente: