Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas da função
até a ordem 4. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função seno e aplicar esse processo várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função seno. Sabemos que:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então, a primeira derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada. Derivando
:
Aqui, a derivada de
é
. Assim, a segunda derivada é
.
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada, derivando
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A terceira derivada fica
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a quarta derivada, derivando
:
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. Assim, a quarta derivada é
.
Resposta
As derivadas sucessivas de
até a ordem 4 são:
Exercícios relacionados
Mostre que o campo
é conservativo e encontre um potencial para
.
Usando derivação implícita, calcule
:
Calcule
, se
e
.
Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)