Mostre que o campo F(x, y) = x^2 * i + 4 * y^3 * j é conservativo e encontre um potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o campo vetorial é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial para ele. Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que:
Para verificar se é conservativo, vamos utilizar uma condição importante para campos em duas dimensões: se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja,
onde e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para encontrar , usamos a outra parte da equação:
Substituindo :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função potencial é:

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial para ele é:

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