Mostre que o campo
é conservativo e encontre um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o campo vetorial
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial para ele. Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Para verificar se
é conservativo, vamos utilizar uma condição importante para campos em duas dimensões: se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja,
onde
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a outra parte da equação:
Substituindo
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função potencial
é:
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial para ele é:
Exercícios relacionados
Usando derivação implícita, calcule
:
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:
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Calcule
, se
e
.