Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = x * e^x, n = 7

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem 7 da função . Isso está no campo do Cálculo Diferencial, especificamente usando regras de derivação como a Regra do Produto e as propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto, que diz que se temos uma função , então a derivada de é:
Aqui, e . Vamos calcular a primeira derivada:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, com a primeira derivada , vamos calcular a segunda derivada usando novamente a Regra do Produto:
Aplicando a regra:

Passo 4

Continuando, a terceira derivada é derivando :
Aplicando a regra:

Passo 5

Perceba o padrão que está se formando. A cada derivada, o coeficiente de aumenta em 1. Vamos seguir até a sétima derivada:
  • 4ª derivada:
  • 5ª derivada:
  • 6ª derivada:
  • 7ª derivada:

Resposta

A 7ª derivada de é:

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Resolva os exercícios a seguir: d y/d x = x^2/(1 - y^2)
Usando derivação implícita, calcule y' : cos(y x^2) = sen(y x^2)
Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = x^(e^x)
Verificar a ordem das EQO, e verificar se, as funções ao lado são soluções: y = e^(2 x) é solução de y'' - 5y' + 6y = 0 ?