Usando derivação implícita, calcule y' : cos(y x^2) = sen(y x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular usando derivação implícita na equação . Isso significa que vamos precisar saber como derivar funções que dependem de , especialmente quando está multiplicando . A ideia é aplicar a derivada em ambos os lados da equação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação, que é . Lembra que a derivada da função cosseno é da função, e a gente precisa usar a regra da cadeia porque dentro do cosseno tem uma função composta, que é .
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar . Aqui usamos a regra do produto, já que temos um produto de e .
A derivada de é:

Passo 4

Substituindo essa derivada na expressão anterior, temos:

Passo 5

Agora, vamos derivar o lado direito da equação original, que é . A derivada da função seno é da função, e novamente usamos a regra da cadeia.
Então, a derivada fica:

Passo 6

Agora que temos as derivadas de ambos os lados, colocamos tudo na equação:

Passo 7

Vamos distribuir os termos para facilitar:

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos que contêm de um lado e os termos sem do outro:

Passo 9

Fatorando no lado esquerdo:

Passo 10

Isolando :

Passo 11

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, a derivada é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
31 f(x) = (x + raiz(x))(x - 2 raiz(x))
Usando derivação implícita, calcule y' : 7y^2 + sen(3x) = 12 - y^4
Resolva os exercícios a seguir: d y/d x = x^2/(1 - y^2)
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = x * e^x, n = 7