Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular
usando derivação implícita na equação
. Isso significa que vamos precisar saber como derivar funções que dependem de
, especialmente quando
está multiplicando
. A ideia é aplicar a derivada em ambos os lados da equação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação, que é
. Lembra que a derivada da função cosseno é da função, e a gente precisa usar a regra da cadeia porque dentro do cosseno tem uma função composta, que é
.
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Aqui usamos a regra do produto, já que temos um produto de
e
.
A derivada de
é:
Passo 4
Substituindo essa derivada na expressão anterior, temos:
Passo 5
Agora, vamos derivar o lado direito da equação original, que é . A derivada da função seno é
da função, e novamente usamos a regra da cadeia.
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora que temos as derivadas de ambos os lados, colocamos tudo na equação:
Passo 7
Vamos distribuir os termos para facilitar:
Passo 8
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os termos sem
do outro:
Passo 9
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Exercícios relacionados
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Usando derivação implícita, calcule
:
Resolva os exercícios a seguir:
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada: