Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem
da função
. Isso significa que vamos encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em relação à variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. Para derivar
, aplicamos as regras de derivação termo a termo:
- A derivada de
é (usamos a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1). - A derivada de
é (a derivada de é 1). - A derivada de uma constante, como
, é .
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. Isso nos mostra como a taxa de variação da função está mudando. Vamos derivar
:
- A derivada de
é (novamente, usando a regra do poder). - A derivada de
é , já que é uma constante.
Então, a segunda derivada é:
Resposta
As derivadas sucessivas até a ordem 2 da função
são: