Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) f(x) = 3*x^4 - 2*x - 9, n = 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem n = 2 da função . Isso significa que vamos encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em relação à variável x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x). A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. Para derivar , aplicamos as regras de derivação termo a termo:
  • A derivada de é (usamos a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de é -2 (a derivada de x é 1).
  • A derivada de uma constante, como , é 0.
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . Isso nos mostra como a taxa de variação da função está mudando. Vamos derivar :
  • A derivada de é (novamente, usando a regra do poder).
  • A derivada de -2 é 0, já que é uma constante.
Então, a segunda derivada é:

Resposta

As derivadas sucessivas até a ordem 2 da função são:

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