Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado:
22. X' = (2 1; 1 -1) X - 5 sobre 2 ; Xp = (1; 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o vetor é uma solução particular do sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações lineares com matrizes, que fazem parte do conteúdo de Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar multiplicar matrizes e verificar se a igualdade funciona quando substituímos por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o lado direito da equação com . Isso significa que substituímos por na expressão:
Vamos fazer a multiplicação da matriz pela vetor:
Agora, somamos o vetor constant:

Passo 3

Agora, vamos calcular o lado esquerdo da equação, que é . Como é uma solução particular, seu derivado deve ser igual ao que encontramos no lado direito.
Entretanto, como é uma constante (não depende do tempo ou de outra variável), sua derivada é simplesmente o vetor zero:

Passo 4

Agora, comparamos os dois lados da equação. Pelo cálculo:
Como os dois lados são iguais, isso confirma que satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

O vetor é de fato uma solução particular do sistema fornecido.

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