Derive cada uma das funções dadas abaixo: f(x) = (5x^3 + 2x)^3 * (x - x^2)^2;

Passo 1

Beleza, então temos que derivar a função . Vamos usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, que são essenciais para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão aplicadas na regra do produto. Temos duas funções multiplicadas:
e

Passo 3

Segundo, vamos lembrar que a derivada de um produto é dada por:
Então, precisamos derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar . Usamos a regra da cadeia:
Aqui, a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos derivar , também usando a regra da cadeia:
A derivada de é .

Passo 6

Aplicando a regra do produto, temos:
Substituindo , , e :

Passo 7

Podemos fatorar alguns termos em comum para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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