Calcule as derivadas trigonométricas.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função trigonométrica . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas envolvendo funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é útil quando temos uma função que é o produto de duas ou mais funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão diferenciadas. Temos três fatores multiplicados:
Para facilitar, vamos pensar em , onde e .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar . Aqui também usamos a Regra do Produto, onde:
  • com
  • com
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de é:
Isso vem da regra de derivação das funções trigonométricas.

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da Regra do Produto:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada de é:

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Calcule as derivadas trigonométricas.
Derive.
Calcule as derivadas trigonométricas.