Calcule as derivadas trigonométricas. f(x) = raiz(x) * sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas envolvendo funções trigonométricas e funções de potência. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto, que é essencial quando temos o produto de duas funções que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Podemos escrever como:
onde:

Passo 3

Agora, precisamos saber como derivar cada uma dessas funções separadamente.
Derivada de :
Sabemos que é o mesmo que . Usando a regra da potência, que diz que a derivada de é , temos:
Derivada de :
A derivada de é bem direta:

Passo 4

Agora que temos as derivadas de e , vamos aplicar a Regra do Produto, que nos diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão, mas já temos a derivada completa. Portanto, a derivada de é:

Resposta

A derivada de é:

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