Derive.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para derivar a função
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente diferenciação de funções com expoentes que também dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função:
Passo 3
Para facilitar a derivação, vamos tirar o logaritmo dos dois lados da equação. Isso nos ajuda a lidar com expoentes que são funções de
:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos
, simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada separadamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
: Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que e :
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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