Derive.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente diferenciação de funções com expoentes que também dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função:

Passo 3

Para facilitar a derivação, vamos tirar o logaritmo dos dois lados da equação. Isso nos ajuda a lidar com expoentes que são funções de :

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos , simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 6

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  • Derivada de :
  • Derivada de : Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que e :
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Agora, isolamos :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada de é:

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