Calcule as derivadas trigonométricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função trigonométrica . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas que envolvem funções trigonométricas e uma constante multiplicativa. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função secante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Se temos , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, pode ser visto como uma função composta onde:
  • A função externa é
  • A função interna é

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções separadamente.
Primeiro, a derivada da função externa :
Aqui, usamos a fórmula da derivada de , que é .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar a função interna :
Já que a derivada de em relação a é 1, e a constante multiplicativa permanece.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando tudo:
Podemos simplificar um pouco, multiplicando as constantes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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