Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(cuva do diabo)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando as funções de
e
estão misturadas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a derivação implícita faz. Quando temos uma equação que relaciona
e
de forma complicada, como essa aqui, não dá para resolver facilmente
em função de
. Então, a derivação implícita nos ajuda a encontrar
sem precisar isolar
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, usamos a regra da cadeia e multiplicamos pela
.
A equação é:
Vamos diferenciar cada parte:
Esquerda:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Direita:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivações:
Para encontrar
, isolamos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar 2 no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, vamos avaliar
no ponto dado
:
Substituindo
e
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 0.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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Derive.