Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. (cuva do diabo)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando as funções de e estão misturadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a derivação implícita faz. Quando temos uma equação que relaciona e de forma complicada, como essa aqui, não dá para resolver facilmente em função de . Então, a derivação implícita nos ajuda a encontrar sem precisar isolar .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , usamos a regra da cadeia e multiplicamos pela .
A equação é:
Vamos diferenciar cada parte:
Esquerda:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Direita:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivações:
Para encontrar , isolamos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar 2 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, vamos avaliar no ponto dado :
Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 0.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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