Derive as funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivar a função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente aplicando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função arco-tangente ( ) e a derivada da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, identificamos que temos uma função composta: a função raiz quadrada aplicada à função arco-tangente.

Passo 3

Para derivar em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
Aqui, derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada da função interna .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de :
Essa é uma derivada padrão que você pode encontrar em tabelas de derivadas.

Passo 6

Substituindo a derivada da função interna na expressão anterior:
Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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