Encontre d/y d/x por derivação implícita. x^2 y^2 + x sen(x) = 4

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação que mistura e : . A matéria que vamos usar é derivação implícita, que é útil quando está embaralhado com e não é fácil isolar . Para resolver, a gente vai precisar saber como derivar funções com e juntas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo, . Como tem e multiplicados, usamos a regra do produto:
Aqui, derivamos que é e mantemos , depois derivamos que é (usando a regra da cadeia).

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo, , também usando a regra do produto:
Isso porque a derivada de é 1 e a derivada de é .

Passo 5

A derivada de uma constante, como 4, é zero:

Passo 6

Juntando tudo que derivamos, temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar . Primeiro, vamos mover os outros termos para o outro lado da equação:

Passo 8

Por fim, dividimos ambos os lados por para resolver :

Resposta

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