Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
d) f(x) = e^x arcsec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Esse exercício está relacionado com derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e saber como derivar e .

Passo 2

Primeiro, identifique que a função é o produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, a gente usa a Regra do Produto para derivar.

Passo 3

Vamos lembrar como derivar cada parte:
  1. A derivada de é simplesmente . Isso porque é uma função exponencial cuja derivada é a própria função.
  2. A derivada de é . Essa é uma fórmula padrão para a derivada da arcsecante.

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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