Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
i) f(x)=(1+x)^{2} arctg(x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas inversas e a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas:

Passo 3

Para derivar , usamos a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Em fórmula:

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de . Usamos a Regra da Potência, que diz que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada da função arco-tangente é:

Passo 6

Com as derivadas encontradas, aplicamos a Regra do Produto:

Resposta

A derivada da função é:

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