Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas inversas e a regra do produto, que são essenciais para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos duas funções multiplicadas:
Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto.
Passo 3
A regra do produto nos diz que a derivada de
é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
e
separadamente.
Passo 4
Vamos derivar
. Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. A derivada da função arctan(x) é uma das derivadas trigonométricas inversas conhecidas:
Passo 6
Com as derivadas de
e
encontradas, substituímos na fórmula da regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão final para deixar a resposta mais clara:
Podemos simplificar ainda mais a segunda fração:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é: