Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo. f(x)=(1+x)^{2} arctg(x);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas inversas e a regra do produto, que são essenciais para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos duas funções multiplicadas:
Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto nos diz que a derivada de é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar . Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada da função arctan(x) é uma das derivadas trigonométricas inversas conhecidas:

Passo 6

Com as derivadas de e encontradas, substituímos na fórmula da regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão final para deixar a resposta mais clara:
Podemos simplificar ainda mais a segunda fração:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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