Determine o volume dos sólidos W abaixo.
W = {(x, y, z) em R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 25} e x² + y² ≥ 9.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sólido definido por duas condições:
  1. : Isso descreve uma esfera com raio 5 (já que ).
  2. : Isso representa o espaço fora de um cilindro circular de raio 3, alinhado no eixo z.
Então, queremos encontrar o volume da região que está dentro da esfera de raio 5 e simultaneamente fora do cilindro de raio 3. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para cálculos envolvendo cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos , e , onde:
  • é a distância radial do eixo z.
  • é o ângulo em torno do eixo z.
  • é a altura, igual à coordenada z nas coordenadas cartesianas.
A vantagem de usar coordenadas cilíndricas aqui é que nosso cilindro é naturalmente descrito por , e a esfera pode ser facilmente expressa em termos de e .

Passo 3

Vamos expressar as equações dadas em coordenadas cilíndricas:
  1. A esfera: se torna . Isso nos dá .
  2. O cilindro: se torna .
Como queremos a região fora do cilindro, nosso varia de 3 até o limite da esfera para cada .

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o volume é:
Onde os limites de integração são:
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do eixo z).
  • Para cada , varia de 3 até o máximo permitido pela esfera, ou seja, .
  • Para cada , varia de a .

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral do volume fica:
Aqui, o limite superior de é 5 porque a esfera tem raio 5.

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em :
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe , então . Isso simplifica a integral para:
Integrando:
Evaluando de 0 a 16:

Passo 7

Agora, voltamos à integral em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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