Determine o volume dos sólidos
abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sólido
definido por duas condições:
-
: Isso descreve uma esfera com raio 5 (já que ). -
: Isso representa o espaço fora de um cilindro circular de raio 3, alinhado no eixo z.
Então, queremos encontrar o volume da região que está dentro da esfera de raio 5 e simultaneamente fora do cilindro de raio 3. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para cálculos envolvendo cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos
,
e
, onde:
-
é a distância radial do eixo z. -
é o ângulo em torno do eixo z. -
é a altura, igual à coordenada z nas coordenadas cartesianas.
A vantagem de usar coordenadas cilíndricas aqui é que nosso cilindro é naturalmente descrito por
, e a esfera pode ser facilmente expressa em termos de
e
.
Passo 3
Vamos expressar as equações dadas em coordenadas cilíndricas:
- A esfera:
se torna . Isso nos dá . - O cilindro:
se torna .
Como queremos a região fora do cilindro, nosso
varia de 3 até o limite da esfera para cada
.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o volume é:
Onde os limites de integração são:
-
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do eixo z). - Para cada
, varia de 3 até o máximo permitido pela esfera, ou seja, . - Para cada
, varia de a .
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral do volume fica:
Aqui, o limite superior de
é 5 porque a esfera tem raio 5.
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
. Isso simplifica a integral para:
Integrando:
Evaluando de 0 a 16:
Passo 7
Agora, voltamos à integral em
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.