Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo. f(x) = arccossec(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função trigonométrica inversa . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função arccosec.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função arccosec. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que, se tivermos uma função dentro da arccosec, precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

No nosso caso, . Então, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é a derivada da arccosec em relação a multiplicada pela derivada de em relação a :

Passo 5

Simplificando a expressão, percebemos que porque é sempre positivo. Então:

Resposta

A derivada da função é:

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