Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função trigonométrica inversa
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função arccosec.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função arccosec. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que, se tivermos uma função dentro da arccosec, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é a derivada da arccosec em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
:
Passo 5
Simplificando a expressão, percebemos que
porque
é sempre positivo. Então:
Resposta
A derivada da função é: