Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular a sua derivada. Isso envolve o estudo das derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções exponenciais e da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos:
- A função externa:
, onde . - A função interna:
.
Para derivar
, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos lembrar a derivada da função arco-tangente. A derivada de
em relação a
é:
Então, a derivada de
em relação a
será:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos lembrar que a derivada de uma função exponencial
é:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 5
Agora que temos
e sabemos a expressão para
, podemos substituir na fórmula da derivada da função composta:
Simplificando o denominador:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é: