Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo. f(x) = arctg(2^(7 x))

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada. Isso envolve o estudo das derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções exponenciais e da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos:
  • A função externa: , onde .
  • A função interna: .
Para derivar , precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos lembrar a derivada da função arco-tangente. A derivada de em relação a é:
Então, a derivada de em relação a será:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Para isso, vamos lembrar que a derivada de uma função exponencial é:
No nosso caso, e . Então:

Passo 5

Agora que temos e sabemos a expressão para , podemos substituir na fórmula da derivada da função composta:
Simplificando o denominador:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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