Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos encontrar a derivada dela. Para isso, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que são ferramentas essenciais no cálculo para derivar funções que são multiplicadas e que têm potências.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Vamos chamar:
Então, a derivada
será:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos começar com
.
Usamos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Se
, então:
Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
também usando a Regra da Cadeia. Aqui,
e
. Então:
Passo 5
Com
e
calculados, voltamos à expressão original da derivada usando a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão fatorando alguns termos comuns. Note que
e
são fatores comuns:
Passo 7
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Somando ambos:
Passo 8
Então, a derivada simplificada fica: