Derive cada uma das funções dadas abaixo: f(x) = (1 + 4*x)^5 * (3 + x - x^2)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar a derivada dela. Para isso, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que são ferramentas essenciais no cálculo para derivar funções que são multiplicadas e que têm potências.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Vamos chamar:
Então, a derivada será:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Vamos começar com .
Usamos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Se , então:
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar também usando a Regra da Cadeia. Aqui, e . Então:

Passo 5

Com e calculados, voltamos à expressão original da derivada usando a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão fatorando alguns termos comuns. Note que e são fatores comuns:

Passo 7

Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Somando ambos:

Passo 8

Então, a derivada simplificada fica:

Resposta

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