As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira:
. Mostre que
e que
. Dica: a função tanh
é obtida pela razão entre as funções
e
, e a sech
é dada pela inversa da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a derivada da função seno hiperbólico,
, é a função cosseno hiperbólico,
, e que a derivada da função tangente hiperbólica,
, é igual a
. Para isso, vamos usar as definições das funções hiperbólicas e as regras de derivação que você aprendeu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas que foram dadas:
Além disso, sabemos que a função tangente hiperbólica é a razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico:
E a função seCh é a inversa de cosh:
Passo 3
Vamos começar mostrando que a derivada de
é igual a
. Para isso, vamos derivar a expressão de
em relação a
.
Usando a regra da derivada para somas e constantes:
Sabemos que a derivada de
é
e a derivada de
é
:
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a derivada de
é
. Começamos derivando a expressão de
:
Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
. Já sabemos que
e
.
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Há uma identidade hiperbólica que diz:
Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
e que
.