As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira: senh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2 e cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2. Mostre que (senh(x))' = cosh(x) e que (tanh(x))' = sech^2(x). Dica: a função tanh x é obtida pela razão entre as funções senh(x) e cosh(x), e a sech x é dada pela inversa da função cosh(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a derivada da função seno hiperbólico, senh(x), é a função cosseno hiperbólico, , e que a derivada da função tangente hiperbólica, , é igual a . Para isso, vamos usar as definições das funções hiperbólicas e as regras de derivação que você aprendeu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas que foram dadas:
Além disso, sabemos que a função tangente hiperbólica é a razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico:
E a função seCh é a inversa de cosh:

Passo 3

Vamos começar mostrando que a derivada de senh(x) é igual a . Para isso, vamos derivar a expressão de senh(x) em relação a x.
Usando a regra da derivada para somas e constantes:
Sabemos que a derivada de e^x é e^x e a derivada de e^-x é :

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a derivada de é . Começamos derivando a expressão de :
Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz que:
Aqui, e . Já sabemos que e .
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Há uma identidade hiperbólica que diz:
Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que e que .

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