Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função que envolve uma trigonométrica inversa. A função dada é . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e a derivada das funções trigonométricas inversas. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber qual é a derivada da .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função . A regra geral para a derivada da cotangente inversa é:
Isso significa que, se tivermos uma função dentro da , precisamos multiplicar essa derivada pela derivada dessa função interna, conforme a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia à função . Aqui, a função interna é . Primeiro, encontramos a derivada de em relação a :
Em seguida, aplicamos a derivada da multiplicada pela derivada de :

Resposta

A derivada da função é:

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Derive cada uma das funções dadas abaixo: ;
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.

Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)

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Seja a função dada por
(a) Calcule e .
(b) Determine e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.