Derive cada uma das funções dadas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Temos uma função seno que envolve uma função tangente, que por sua vez envolve a raiz quadrada de seno de . Então, vamos começar derivando de fora para dentro.

Passo 3

Vamos chamar a função interior de . A derivada de em relação a será . Aqui, usamos a derivada do seno, que é o cosseno, multiplicada pela derivada da função interna .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , onde . Vamos chamar a parte interna de . Então, , e sua derivada será . Aqui, usamos a derivada da tangente, que é o secante ao quadrado, multiplicada pela derivada de .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Podemos reescrever isso como . A derivada será . Aqui, usamos a regra do poder e a derivada do seno.

Passo 6

Agora, juntando tudo que encontramos:

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão para :

Resposta

A derivada da função é

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Utilize o Teorema do Confronto para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
Determine os domínios das funções vetoriais abaixo: .
Derive cada uma das funções dadas abaixo: ;
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.