(a) Calcule e .
(b) Determine e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar pela parte (a). O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Precisamos lembrar de uma regra muito útil: . Vamos ver como podemos aplicar isso no nosso caso.
Passo 2
Observamos que pode ser reescrito como . Isso facilita porque agora temos algo que se parece com a regra que mencionamos.
Passo 3
Sabemos que . Se fizermos , quando , também.
Passo 4
Aplicando essa substituição, temos:
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): . Aqui, novamente, usamos a regra , mas precisamos adaptar para a nossa função.
Passo 6
Podemos reescrever a expressão como . Isso nos ajuda a separar os termos.
Vamos para a parte (d): . Primeiro, observamos que quando , o denominador e o numerador se aproximam de 0, o que sugere o uso da regra de L’Hôpital.
Passo 14
Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar as expressões:
Então, temos:
Passo 15
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 16
Assim, o limite se torna:
Passo 17
Agora, a parte (e): . Vamos lembrar que .
Passo 18
Reescrevemos a expressão:
Passo 19
Dividimos a expressão em duas partes:
Sabemos que .
Passo 20
Calculamos cada limite:
Passo 21
Multiplicando tudo:
Passo 22
Vamos para a parte (f): . Primeiro, simplificamos a expressão.
Passo 23
Sabemos que . Então, temos:
Passo 24
Vamos lembrar que quando está próximo de 0. Então:
Passo 25
Substituindo na expressão:
Passo 26
Agora, calculamos o limite:
Passo 27
Passando para a parte (g): . Aqui, ao substituir , o numerador e denominador se tornam 0, indicando a possibilidade de fatorar ou usar a regra de L’Hôpital.
Passo 28
Primeiro, fatoramos o denominador . Agora, vamos fatorar o numerador.
Passo 29
Expandimos :
Então:
Passo 30
Notamos que é raiz do numerador, então é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando o teorema do resto, encontramos:
Passo 31
Agora, substituímos na expressão original:
Passo 32
Calculamos o limite substituindo :
Passo 33
Vamos para a questão 11(a). Precisamos calcular e para a função definida por:
Passo 34
Primeiro, calculamos , ou seja, quando se aproxima de 0 pela esquerda ().
Passo 35
Para :
Sabemos que , já que a função seno tem período .
Passo 36
Substituindo:
Quando , .
Passo 37
Calculamos o limite:
Passo 38
Agora, calculamos , ou seja, quando se aproxima de 0 pela direita ().
Passo 39
Para :
Podemos separar os termos:
Passo 40
Sabemos que e .
Passo 41
Calculamos:
Passo 42
Agora, a parte 11(b): Determinar os valores de e para que seja contínua em . Para isso, precisamos que os limites laterais sejam iguais e também iguais ao valor da função em , que é .
Passo 43
Já temos:
Passo 44
Para continuidade em , deve-se ter:
Passo 45
Resolvendo :
E, de igual forma, .
Resposta
Para que a função seja contínua em , os valores são: