(a) Calcule lim x 0^- f(x) e lim x 0^+ f(x).
(b) Determine a e b para que f seja contínua em x=0. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar pela parte (a). O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Precisamos lembrar de uma regra muito útil: . Vamos ver como podemos aplicar isso no nosso caso.
Passo 2
Observamos que pode ser reescrito como . Isso facilita porque agora temos algo que se parece com a regra que mencionamos.
Passo 3
Sabemos que . Se fizermos limu to 0 sen(u)u = 1, quando u = 4x, x to 0 também.
Passo 4
Aplicando essa substituição, temos:
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): . Aqui, novamente, usamos a regra , mas precisamos adaptar para a nossa função.
Passo 6
Podemos reescrever a expressão como . Isso nos ajuda a separar os termos.
Vamos para a parte (d): . Primeiro, observamos que quando lim x 1 tg(2-2 x)sen(3 x-3), o denominador e o numerador se aproximam de 0, o que sugere o uso da regra de L’Hôpital.
Passo 14
Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar as expressões:
2 - 2x = 2(1 - x)
3x - 3 = 3(x - 1)
Então, temos:
Passo 15
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 16
Assim, o limite se torna:
limx to 1 -2cos(2-2x)3cos(3x-3) = -2cos(0)3cos(0) = -23
Passo 17
Agora, a parte (e): . Vamos lembrar que .
Passo 18
Reescrevemos a expressão:
Passo 19
Dividimos a expressão em duas partes:
Sabemos que .
Passo 20
Calculamos cada limite:
limx to 0 sen(4x)4x = 1
limx to 0 sen(raiz3x)raiz3x = 1
Passo 21
Multiplicando tudo:
1 cdot 1 cdot 4raiz3 cdot 11 = 4raiz3
Passo 22
Vamos para a parte (f): . Primeiro, simplificamos a expressão.
Passo 23
Sabemos que . Então, temos:
cossec(x) = 1cos(x)
Passo 24
Vamos lembrar que 1 - cos(kx) approx (kx)^22 quando x está próximo de 0. Então:
1 - cos(14x) approx (14x)^22 = 98x^2
Passo 25
Substituindo na expressão:
98x^211x cos(11x) = 98x11 cos(11x)
Passo 26
Agora, calculamos o limite:
limx to 0 98x11 cos(11x) = 98 cdot 011 cdot 1 = 0
Passo 27
Passando para a parte (g): lim x 1 (3-x)^4-16x^3-1. Aqui, ao substituir x=1, o numerador e denominador se tornam 0, indicando a possibilidade de fatorar ou usar a regra de L’Hôpital.
Passo 28
Primeiro, fatoramos o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1). Agora, vamos fatorar o numerador.
Vamos para a questão 11(a). Precisamos calcular lim x 0^- f(x) e lim x 0^+ f(x) para a função definida por:
Passo 34
Primeiro, calculamos lim x 0^- f(x), ou seja, quando x se aproxima de 0 pela esquerda (x < 0).
Passo 35
Para x < 0:
Sabemos que , já que a função seno tem período f(x) = sen(2pi + x) + a2pi + x .
Passo 36
Substituindo:
Quando f(x) = sen(x) + a2pi + x , x to 0^-.
Passo 37
Calculamos o limite:
Passo 38
Agora, calculamos lim x 0^+ f(x), ou seja, quando x se aproxima de 0 pela direita (x > 0).
Passo 39
Para x > 0:
Podemos separar os termos:
Passo 40
Sabemos que e limx to 0 sen(3x)3x = 1.
Passo 41
Calculamos:
1 cdot 32 cdot 1 = 32
Passo 42
Agora, a parte 11(b): Determinar os valores de a e b para que f seja contínua em x=0. Para isso, precisamos que os limites laterais sejam iguais e também iguais ao valor da função em x=0, que é b.
Passo 43
Já temos:
lim x 0^- f(x) = a2pi
lim x 0^+ f(x) = 32
Passo 44
Para continuidade em x=0, deve-se ter:
a2pi = 32 = b
Passo 45
Resolvendo a2pi = 32:
a = 2pi cdot 32 = 3pi
E, de igual forma, b = 32.
Resposta
Para que a função f seja contínua em x=0, os valores são: