Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a) lim x 0 sen(4 x)x
(b) lim x 0 x^2sen(x)
© lim x 0 tg(3 x)x
(d) lim x 1 tg(2-2 x)sen(3 x-3)
(e) lim x 0 tg(4 x) cotg(raiz3 x)
(f) lim x 0 (1-cos (14 x)) cossec(11 x)11 x
(g) lim x 1 (3-x)^4-16x^3-1

11
Seja f: R R a função dada por
f(x)=cc sen(2 pi+x)+a2 pi+x & se x<0 b & se x=0 sen(3 x)2 x cos (x) & se x>0
(a) Calcule lim x 0^- f(x) e lim x 0^+ f(x).
(b) Determine a e b para que f seja contínua em x=0. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar pela parte (a). O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Precisamos lembrar de uma regra muito útil: . Vamos ver como podemos aplicar isso no nosso caso.

Passo 2

Observamos que pode ser reescrito como . Isso facilita porque agora temos algo que se parece com a regra que mencionamos.

Passo 3

Sabemos que . Se fizermos limu to 0 sen(u)u = 1, quando u = 4x, x to 0 também.

Passo 4

Aplicando essa substituição, temos:

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): . Aqui, novamente, usamos a regra , mas precisamos adaptar para a nossa função.

Passo 6

Podemos reescrever a expressão como . Isso nos ajuda a separar os termos.

Passo 7

Sabemos que , então também.

Passo 8

Agora, calculamos o limite:

Passo 9

Seguimos para a parte ©: . Aqui, estamos lidando com a tangente, então vamos lembrar que .

Passo 10

Reescrevemos a expressão:

Passo 11

Podemos separar os limites:
Sabemos que e limx to 0 sen(3x)3x cdot 3cos(3x) .

Passo 12

Calculamos:
1 cdot 31 = 3

Passo 13

Vamos para a parte (d): . Primeiro, observamos que quando lim x 1 tg(2-2 x)sen(3 x-3), o denominador e o numerador se aproximam de 0, o que sugere o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 14

Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar as expressões:
  • 2 - 2x = 2(1 - x)
  • 3x - 3 = 3(x - 1)
Então, temos:

Passo 15

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 16

Assim, o limite se torna:
limx to 1 -2cos(2-2x)3cos(3x-3) = -2cos(0)3cos(0) = -23

Passo 17

Agora, a parte (e): . Vamos lembrar que .

Passo 18

Reescrevemos a expressão:

Passo 19

Dividimos a expressão em duas partes:
Sabemos que .

Passo 20

Calculamos cada limite:
  • limx to 0 sen(4x)4x = 1
  • limx to 0 sen(raiz3x)raiz3x = 1

Passo 21

Multiplicando tudo:
1 cdot 1 cdot 4raiz3 cdot 11 = 4raiz3

Passo 22

Vamos para a parte (f): . Primeiro, simplificamos a expressão.

Passo 23

Sabemos que . Então, temos:
cossec(x) = 1cos(x)

Passo 24

Vamos lembrar que 1 - cos(kx) approx (kx)^22 quando x está próximo de 0. Então:
1 - cos(14x) approx (14x)^22 = 98x^2

Passo 25

Substituindo na expressão:
98x^211x cos(11x) = 98x11 cos(11x)

Passo 26

Agora, calculamos o limite:
limx to 0 98x11 cos(11x) = 98 cdot 011 cdot 1 = 0

Passo 27

Passando para a parte (g): lim x 1 (3-x)^4-16x^3-1. Aqui, ao substituir x=1, o numerador e denominador se tornam 0, indicando a possibilidade de fatorar ou usar a regra de L’Hôpital.

Passo 28

Primeiro, fatoramos o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1). Agora, vamos fatorar o numerador.

Passo 29

Expandimos (3 - x)^4:
(3 - x)^4 = 81 - 108x + 54x^2 - 12x^3 + x^4
Então:
(3 - x)^4 - 16 = 81 - 16 - 108x + 54x^2 - 12x^3 + x^4 = 65 - 108x + 54x^2 - 12x^3 + x^4

Passo 30

Notamos que x=1 é raiz do numerador, então (x - 1) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando o teorema do resto, encontramos:
x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 65 = (x - 1)(x^3 - 11x^2 + 43x - 65)

Passo 31

Agora, substituímos na expressão original:
(x - 1)(x^3 - 11x^2 + 43x - 65)(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 11x^2 + 43x - 65x^2 + x + 1

Passo 32

Calculamos o limite substituindo x=1:
1 - 11 + 43 - 651 + 1 + 1 = -323

Passo 33

Vamos para a questão 11(a). Precisamos calcular lim x 0^- f(x) e lim x 0^+ f(x) para a função definida por:

Passo 34

Primeiro, calculamos lim x 0^- f(x), ou seja, quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x < 0).

Passo 35

Para x < 0:
Sabemos que , já que a função seno tem período f(x) = sen(2pi + x) + a2pi + x .

Passo 36

Substituindo:
Quando f(x) = sen(x) + a2pi + x , x to 0^-.

Passo 37

Calculamos o limite:

Passo 38

Agora, calculamos lim x 0^+ f(x), ou seja, quando x se aproxima de 0 pela direita ( x > 0).

Passo 39

Para x > 0:
Podemos separar os termos:

Passo 40

Sabemos que e limx to 0 sen(3x)3x = 1.

Passo 41

Calculamos:
1 cdot 32 cdot 1 = 32

Passo 42

Agora, a parte 11(b): Determinar os valores de a e b para que f seja contínua em x=0. Para isso, precisamos que os limites laterais sejam iguais e também iguais ao valor da função em x=0, que é b.

Passo 43

Já temos:
lim x 0^- f(x) = a2pi
lim x 0^+ f(x) = 32

Passo 44

Para continuidade em x=0, deve-se ter:
a2pi = 32 = b

Passo 45

Resolvendo a2pi = 32:
a = 2pi cdot 32 = 3pi
E, de igual forma, b = 32.

Resposta

Para que a função f seja contínua em x=0, os valores são:
a = 3pi e b = 32

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