Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)

11
Seja a função dada por
(a) Calcule e .
(b) Determine e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar pela parte (a). O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Precisamos lembrar de uma regra muito útil: . Vamos ver como podemos aplicar isso no nosso caso.

Passo 2

Observamos que pode ser reescrito como . Isso facilita porque agora temos algo que se parece com a regra que mencionamos.

Passo 3

Sabemos que . Se fizermos , quando , também.

Passo 4

Aplicando essa substituição, temos:

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): . Aqui, novamente, usamos a regra , mas precisamos adaptar para a nossa função.

Passo 6

Podemos reescrever a expressão como . Isso nos ajuda a separar os termos.

Passo 7

Sabemos que , então também.

Passo 8

Agora, calculamos o limite:

Passo 9

Seguimos para a parte ©: . Aqui, estamos lidando com a tangente, então vamos lembrar que .

Passo 10

Reescrevemos a expressão:

Passo 11

Podemos separar os limites:
Sabemos que e .

Passo 12

Calculamos:

Passo 13

Vamos para a parte (d): . Primeiro, observamos que quando , o denominador e o numerador se aproximam de 0, o que sugere o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 14

Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar as expressões:
Então, temos:

Passo 15

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 16

Assim, o limite se torna:

Passo 17

Agora, a parte (e): . Vamos lembrar que .

Passo 18

Reescrevemos a expressão:

Passo 19

Dividimos a expressão em duas partes:
Sabemos que .

Passo 20

Calculamos cada limite:

Passo 21

Multiplicando tudo:

Passo 22

Vamos para a parte (f): . Primeiro, simplificamos a expressão.

Passo 23

Sabemos que . Então, temos:

Passo 24

Vamos lembrar que quando está próximo de 0. Então:

Passo 25

Substituindo na expressão:

Passo 26

Agora, calculamos o limite:

Passo 27

Passando para a parte (g): . Aqui, ao substituir , o numerador e denominador se tornam 0, indicando a possibilidade de fatorar ou usar a regra de L’Hôpital.

Passo 28

Primeiro, fatoramos o denominador . Agora, vamos fatorar o numerador.

Passo 29

Expandimos :
Então:

Passo 30

Notamos que é raiz do numerador, então é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando o teorema do resto, encontramos:

Passo 31

Agora, substituímos na expressão original:

Passo 32

Calculamos o limite substituindo :

Passo 33

Vamos para a questão 11(a). Precisamos calcular e para a função definida por:

Passo 34

Primeiro, calculamos , ou seja, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ).

Passo 35

Para :
Sabemos que , já que a função seno tem período .

Passo 36

Substituindo:
Quando , .

Passo 37

Calculamos o limite:

Passo 38

Agora, calculamos , ou seja, quando se aproxima de 0 pela direita ( ).

Passo 39

Para :
Podemos separar os termos:

Passo 40

Sabemos que e .

Passo 41

Calculamos:

Passo 42

Agora, a parte 11(b): Determinar os valores de e para que seja contínua em . Para isso, precisamos que os limites laterais sejam iguais e também iguais ao valor da função em , que é .

Passo 43

Já temos:

Passo 44

Para continuidade em , deve-se ter:

Passo 45

Resolvendo :
E, de igual forma, .

Resposta

Para que a função seja contínua em , os valores são:

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