Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica inversa . Vamos trabalhar com derivadas de funções trigonométricas inversas e usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que precisamos fazer. Queremos encontrar , a derivada de . Sabemos que é uma função composta, ou seja, temos uma função dentro de outra. Para derivar isso, vamos usar a Regra da Cadeia.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta , então a derivada é . No nosso caso, , onde .

Passo 4

Vamos derivar a parte externa primeiro. A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos derivar a parte interna .
A derivada de é 1, e a derivada de é:
Então, a derivada de é:

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de é:

Passo 7

Vamos simplificar o denominador:

Passo 8

Então, substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 9

Podemos fatorar o denominador para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Derive cada uma das funções dadas abaixo: ;

Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)

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Seja a função dada por
(a) Calcule e .
(b) Determine e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.
Calcule os limites: ;