Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica inversa . Vamos trabalhar com derivadas de funções trigonométricas inversas e usar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que precisamos fazer. Queremos encontrar , a derivada de . Sabemos que é uma função composta, ou seja, temos uma função dentro de outra. Para derivar isso, vamos usar a Regra da Cadeia.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta , então a derivada é . No nosso caso, , onde .
Passo 4
Vamos derivar a parte externa primeiro. A derivada de em relação a é:
Passo 5
Agora, vamos derivar a parte interna .
A derivada de é 1, e a derivada de é:
Então, a derivada de é:
Passo 6
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de é:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador:
Passo 8
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 9
Podemos fatorar o denominador para simplificar ainda mais: