Derive cada uma das funções dadas abaixo: f(x) = raiz((x - 1) / (x + 1))

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício de derivação da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Essas regras nos ajudam a encontrar a derivada de funções que são compostas por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de , então temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Se temos uma função da forma , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:

Passo 5

Agora precisamos derivar o quociente . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar cada um:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Substituindo essa derivada de volta na expressão para :

Passo 8

Simplificando, o 2 no numerador e denominador se cancelam:

Passo 9

Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 10

Simplificando a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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