Calcule as derivadas trigonométricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o objetivo é calcular a derivada dela em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar exponenciais e funções trigonométricas, além de aplicar a regra do produto que nos ajuda quando temos duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão multiplicadas: e . A regra do produto diz que, se temos duas funções multiplicadas, e , a derivada de é . Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos à derivada da segunda função multiplicada pela primeira.

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de : A derivada de em relação a é simplesmente , já que a função exponencial é sua própria derivada.
  2. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • A derivada de é , já que a derivada de é 1 e a constante permanece.
Então, .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
’ =

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o :

Passo 6

Somando os termos dentro dos colchetes:

Resposta

A derivada da função é:

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