Calcule as derivadas trigonométricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e o objetivo é calcular a derivada dela em relação a
. Isso faz parte do conteúdo de Derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar exponenciais e funções trigonométricas, além de aplicar a regra do produto que nos ajuda quando temos duas funções multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão multiplicadas:
e
. A regra do produto diz que, se temos duas funções multiplicadas,
e
, a derivada de
é
. Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos à derivada da segunda função multiplicada pela primeira.
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
: A derivada de em relação a é simplesmente , já que a função exponencial é sua própria derivada. -
Derivada de
: - A derivada de
é . - A derivada de
é , já que a derivada de é 1 e a constante permanece.
- A derivada de
Então,
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Somando os termos dentro dos colchetes:
Resposta
A derivada da função é:
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(cuva do diabo)