Derive as funções hiperbólicas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função hiperbólica . Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
  • Função dada:
  • Conteúdo da matéria: Derivadas de funções hiperbólicas e compostas.
  • O que precisamos: Conhecer a derivada da função inversa hiperbólica e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos lembrar como derivar a função inversa hiperbólica . A derivada de em relação a é:
Isso significa que se tivermos , então .

Passo 3

No nosso caso, . Então, para encontrar , vamos aplicar a regra da cadeia, que diz:
Já sabemos que , agora precisamos calcular , onde .

Passo 4

A derivada de em relação a é:
Então, agora temos todos os componentes para aplicar a regra da cadeia.

Passo 5

Substituindo na expressão da derivada, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Sabemos que . Como é positivo onde está definido, podemos simplificar para . Então:

Resposta

A derivada de em relação a é .

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