Derive as funções hiperbólicas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função hiperbólica
. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
- Função dada:
- Conteúdo da matéria: Derivadas de funções hiperbólicas e compostas.
- O que precisamos: Conhecer a derivada da função inversa hiperbólica
e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Vamos lembrar como derivar a função inversa hiperbólica
. A derivada de
em relação a
é:
Isso significa que se tivermos
, então
.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, para encontrar
, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz:
Já sabemos que
, agora precisamos calcular
, onde
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é:
Então, agora temos todos os componentes para aplicar a regra da cadeia.
Passo 5
Substituindo
na expressão da derivada, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Sabemos que
. Como
é positivo onde está definido, podemos simplificar para
. Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.
Exercícios relacionados
Derive as funções hiperbólicas.
Decida se existem
de modo que a função seja contínua no(s) ponto(s) indicado(s). Em caso afirmativo, calcule tais valores de
e
.
Calcule as derivadas trigonométricas.
Calcule as derivadas trigonométricas.