Calcule as derivadas trigonométricas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função trigonométrica . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções, como a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembrando que e , podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, temos:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar essa expressão. A regra do quociente diz que, se , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar o numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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