Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função e as funções e , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de uma função composta usando a regra da cadeia. Especificamente, temos a função onde e são funções de , dado por e . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular . Como depende de e , que por sua vez dependem de , precisamos usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas multivariáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , multiplicá-las pelas derivadas de e em relação a , e somar tudo.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivadas parciais de :
    Isso porque a derivada de em relação a é , e aqui .
  2. Derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Observando que e , temos:
Portanto, a expressão fica:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão agrupando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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