Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: © Seja e . Calcule usando a regra da cadeia.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Temos as funções:
Para resolver, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas que dependem de uma variável intermediária, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Portanto, para encontrar , usamos a regra da cadeia multivariada:

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas vêm da aplicação da derivada da função raiz quadrada e da regra da potência.

Passo 4

Agora, derivamos e em relação a :

Passo 5

Substituímos as derivadas parciais e as derivadas de e na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Como e , substituímos esses valores na expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

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Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (a) Seja e e . Use a regra da cadeia para encontrar .
Calcule as derivadas: (e) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere e as funções e . Encontre .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função e as funções e , encontre .