Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: © Seja z = f(x, y) = raiz(x^2 + y^2) com x = cos(t) e y = sen(t). Calcule d/z dt usando a regra da cadeia.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Temos as funções:
Para resolver, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas que dependem de uma variável intermediária, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Portanto, para encontrar , usamos a regra da cadeia multivariada:

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas vêm da aplicação da derivada da função raiz quadrada e da regra da potência.

Passo 4

Agora, derivamos e em relação a :

Passo 5

Substituímos as derivadas parciais e as derivadas de e na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Como e , substituímos esses valores na expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

Exercícios relacionados