Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função
e
e
, encontre
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente calcular as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A função
é dada em termos de
e
, e essas duas últimas são funções de
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
substituindo
e
pelas suas expressões em termos de
e
. Temos:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, derivamos cada termo que contém
:
Derivando termo a termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
é tratado como constante:
Derivando termo a termo:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função
e as funções
e
, encontre
.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere
e as funções
e
. Encontre
.
Máximos e Mínimos: (q) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função
e a restrição
, determine os valores de
que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.