Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função e e , encontre .

Passo 1

Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e . A função é dada em termos de e , e essas duas últimas são funções de e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função substituindo e pelas suas expressões em termos de e . Temos:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como é tratado como constante quando derivamos em relação a , derivamos cada termo que contém :
Derivando termo a termo:
éçã
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, é tratado como constante:
Derivando termo a termo:
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função e as funções e , encontre .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere e as funções e . Encontre .
Máximos e Mínimos: (q) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função e a restrição , determine os valores de que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.