Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função z=f(x, y)=x^3 y+y^4 e x=x(u, v)=u^2 e y=y(u, v)=v^2, encontre partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e . A função é dada em termos de e , e essas duas últimas são funções de e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = f(x, y) = x^3 y + y^4 substituindo z = (u^2)^3 cdot v^2 + (v^2)^4 = u^6v^2 + v^8 e pelas suas expressões em termos de e . Temos:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial u = partialpartial u (u^6v^2) + partialpartial u (v^8) em relação a partialpartial u (u^6v^2) = 6u^5v^2 , ou seja, partialpartial u (v^8) = 0 (porque v^8 é constante em relação a u) . Como partial zpartial u = 6u^5v^2 é tratado como constante quando derivamos em relação a , derivamos cada termo que contém :
Derivando termo a termo:
éçã
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial v = partialpartial v (u^6v^2) + partialpartial v (v^8) em relação a partialpartial v (u^6v^2) = 2u^6v , ou seja, partialpartial v (v^8) = 8v^7 . Aqui, partial zpartial v = 2u^6v + 8v^7 é tratado como constante:
Derivando termo a termo:
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função partial zpartial u = 6u^5v^2 são:
partial zpartial v = 2u^6v + 8v^7

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