Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere
e as funções
e
. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que temos aqui! Temos a função
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar as regras da cadeia na derivação multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
e tanto
quanto
dependem de
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
depende das taxas de variação de
em relação a
e
, multiplicadas pelas taxas de variação de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Aqui, estamos tratando
como uma constante ao derivar com relação a
e vice-versa.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas vêm diretamente das funções dadas
e
.
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Isso nos dá uma expressão que inclui todas as partes que precisamos calcular.
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na expressão acima:
Isso simplifica as expressões em termos de
, facilitando a conta.
Passo 7
Simplificando os termos:
Somando os termos semelhantes, temos:
Resposta
Então, a derivada de
em relação a
é:
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Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: © Seja
e
. Calcule
usando a regra da cadeia.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (a) Seja
e
e
. Use a regra da cadeia para encontrar
.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função
e as funções
e
, encontre
.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função
e
e
, encontre
.