Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere z = g(x, y) = x^2 * y + y^3 e as funções x = t^2 e y = t^3. Encontre d/z dt.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que temos aqui! Temos a função onde e . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as regras da cadeia na derivação multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se e tanto quanto dependem de , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a depende das taxas de variação de em relação a e , multiplicadas pelas taxas de variação de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Aqui, estamos tratando como uma constante ao derivar com relação a e vice-versa.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas vêm diretamente das funções dadas e .

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Isso nos dá uma expressão que inclui todas as partes que precisamos calcular.

Passo 6

Agora, vamos substituir e na expressão acima:
Isso simplifica as expressões em termos de , facilitando a conta.

Passo 7

Simplificando os termos:
Somando os termos semelhantes, temos:

Resposta

Então, a derivada de em relação a é:

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