Máximos e Mínimos: (q) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 1

Beleza, temos a função . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia e a outra permanece constante.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero simultaneamente.
Igualando as derivadas a zero:
Substituindo na equação , temos .
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo.

Resposta

O único ponto crítico é , que é um ponto de mínimo.

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Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função e e , encontre .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (b) Dada a função e as funções e , encontre .
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função e a restrição , determine os valores de que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Máximos e Mínimos: (l) Para a função , encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.