Máximos e Mínimos: (q) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, temos a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia e a outra permanece constante.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero simultaneamente.
Igualando as derivadas a zero:
Substituindo
na equação
, temos
.
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um mínimo.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um ponto de mínimo.