Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (a) Seja
e
e
. Use a regra da cadeia para encontrar
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
, onde
e
são funções de
, ou seja,
e
. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de uma função que depende de várias variáveis. A derivada total de
em relação a
é dada pela soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, multiplicadas pelas derivadas de
e
em relação a
:
Essa é a essência da regra da cadeia para funções compostas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Essas derivadas mostram como
muda quando
ou
mudam, mantendo a outra variável constante.
Passo 4
Em seguida, precisamos das derivadas de
e
em relação a
. Como
e
, temos:
Aqui,
e
representam as taxas de variação de
e
em relação a
.
Passo 5
Finalmente, substituímos tudo na fórmula da derivada total:
Lembrando que
e
, podemos reescrever a expressão como:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Calcule as derivadas: (e) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Calcule as derivadas: (a) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: © Seja
e
. Calcule
usando a regra da cadeia.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (d) Considere
e as funções
e
. Encontre
.