Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (a) Seja z = f(x, y) = x^2 + y^2 e x=u(t) e y = v(t). Use a regra da cadeia para encontrar d/z dt.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função , onde e são funções de , ou seja, e . Precisamos encontrar a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de uma função que depende de várias variáveis. A derivada total de em relação a é dada pela soma das derivadas parciais de em relação a e , multiplicadas pelas derivadas de e em relação a :
Essa é a essência da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas mostram como muda quando ou mudam, mantendo a outra variável constante.

Passo 4

Em seguida, precisamos das derivadas de e em relação a . Como e , temos:
Aqui, e representam as taxas de variação de e em relação a .

Passo 5

Finalmente, substituímos tudo na fórmula da derivada total:
Lembrando que e , podemos reescrever a expressão como:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados