Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (f) Para a função
e
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente calcule as derivadas parciais da função
em relação a
e
, sabendo que
e
. Vamos usar a regra da cadeia da derivada para isso. Para resolver, precisamos entender como as variáveis estão interligadas e como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
, onde
e
dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Substituindo:
Agora, para
:
Substituindo:
Resposta
As derivadas parciais são:
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, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
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