Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (f) Para a função z=h(x, y)=ln (x+y^2) com x=x(u, v)=u+v e y=y(u, v)=u-v, encontre partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente calcule as derivadas parciais da função em relação a e , sabendo que e . Vamos usar a regra da cadeia da derivada para isso. Para resolver, precisamos entender como as variáveis estão interligadas e como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u , onde partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v e dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de z = ln(x + y^2) em relação a partial zpartial x = 1x + y^2 cdot 1 = 1x + y^2 e partial zpartial y = 1x + y^2 cdot 2y = 2yx + y^2 :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x = u + v Rightarrow partial xpartial u = 1 e partial xpartial v = 1 e y = u - v Rightarrow partial ypartial u = 1 e partial ypartial v = -1 em relação a e :

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial u = ( 1x + y^2 ) cdot 1 + ( 2yx + y^2 ) cdot 1 = 1 + 2yx + y^2 .
Primeiro, para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :
partial zpartial v = ( 1x + y^2 ) cdot 1 + ( 2yx + y^2 ) cdot (-1) = 1 - 2yx + y^2
Substituindo:
Agora, para :
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 1 + 2yx + y^2
partial zpartial v = 1 - 2yx + y^2

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