Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (f) Para a função e , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente calcule as derivadas parciais da função em relação a e , sabendo que e . Vamos usar a regra da cadeia da derivada para isso. Para resolver, precisamos entender como as variáveis estão interligadas e como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se , onde e dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a e :

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia para encontrar e .
Primeiro, para :
Substituindo:
Agora, para :
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Máximos e Mínimos: § Dada a função , encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Máximos e Mínimos: (j) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Máximos e Mínimos: (o) Para a função , encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.