Máximos e Mínimos: § Dada a função , encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede! A gente tem a função e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Depois disso, vamos descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a análise do discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Para encontrar onde essa derivada é zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Para encontrar onde essa derivada é zero:

Passo 5

Então, encontramos que o único ponto crítico é . Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto. Para isso, vamos usar a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.

Passo 6

Vamos calcular as segundas derivadas:

Passo 7

Com essas segundas derivadas, podemos montar a matriz Hessiana :
Agora, calculamos o determinante da Hessiana:
Como e , isso indica que temos um mínimo local no ponto .

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um ponto de mínimo local da função .

Exercícios relacionados

Máximos e Mínimos: (l) Para a função , encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função e a restrição , determine os valores de que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (d) Para a função com a restrição , encontre os máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (f) Para a função e , encontre .