Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (d) Para a função
com a restrição
, encontre os máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e uma restrição
. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é super útil para otimizar funções quando elas estão “presas” a alguma condição, como essa restrição que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto onde a função
tem um extremo (máximo ou mínimo) sujeito à restrição
, o gradiente de
(
) deve ser proporcional ao gradiente de
(
). Ou seja, existe um número
tal que:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções
e
:
Passo 4
Aplicando a condição
, temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação (2):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação (1):
Rearranjando:
Passo 7
Usando a restrição
e a equação (3)
:
Passo 8
Com
, calculamos
usando
:
Passo 9
Assim, os pontos críticos são:
Passo 10
Vamos calcular o valor de
nesses pontos:
Tomando, por exemplo,
:
Fazendo o mesmo para os demais pontos, encontramos que os valores de
serão
e
.
Resposta
Os máximos e mínimos da função são
e
.
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, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
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e
, encontre
.
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. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.