Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (d) Para a função com a restrição , encontre os máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e uma restrição . Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é super útil para otimizar funções quando elas estão “presas” a alguma condição, como essa restrição que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto onde a função tem um extremo (máximo ou mínimo) sujeito à restrição , o gradiente de ( ) deve ser proporcional ao gradiente de ( ). Ou seja, existe um número tal que:

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções e :

Passo 4

Aplicando a condição , temos:
çã

Passo 5

Vamos resolver a equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, substituímos na equação (1):
Rearranjando:

Passo 7

Usando a restrição e a equação (3) :

Passo 8

Com , calculamos usando :

Passo 9

Assim, os pontos críticos são:

Passo 10

Vamos calcular o valor de nesses pontos:
Tomando, por exemplo, :
Fazendo o mesmo para os demais pontos, encontramos que os valores de serão e .

Resposta

Os máximos e mínimos da função são e .

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