Máximos e Mínimos: (j) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar as taxas de variação da função em cada direção.
Passo 3
Em seguida, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos. Isso significa resolver o sistema de equações:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Passo 5
Interpretamos o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo local. - Se
e , então temos um máximo local. - Se
, o ponto é de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto
é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico é
, que é um mínimo local da função.