Máximos e Mínimos: (o) Para a função , encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Máximos e Mínimos! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar essas derivadas para identificar os tipos de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Isso significa achar os valores de e onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 7

Calculamos o discriminante :

Passo 8

Analisando o valor de :
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então temos um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um máximo local da função .

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