Máximos e Mínimos: (o) Para a função
, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Máximos e Mínimos! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar essas derivadas para identificar os tipos de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Isso significa achar os valores de
e
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Então,
. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 7
Calculamos o discriminante
:
Passo 8
Analisando o valor de
:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então temos um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um máximo local da função
.
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e
, encontre
.
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e
e
. Encontre
e
.
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, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.