Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função
e a restrição
, determine os valores de
que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Vamos analisar o problema: queremos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos onde a função
atinge seus máximos e mínimos, dado que está sujeita à restrição
. Esse método é útil para otimizar uma função quando há uma condição que relaciona as variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Eles ajudam a encontrar os extremos (máximos ou mínimos) de uma função
sujeita a uma restrição
. Para isso, criamos uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina
e a restrição
com um multiplicador
.
Passo 3
Vamos definir a Lagrangiana para o nosso problema:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver as equações resultantes:
- Da primeira equação:
Então, ou
, ou
.
- Da segunda equação:
Então, ou
, ou
.
- Da terceira equação:
Essa é a restrição que temos.
Passo 6
Vamos considerar os casos possíveis:
Caso 1:
- Substituindo na restrição:
- Pontos:
e
Caso 2:
- Da segunda equação:
- Substituindo na restrição:
- Pontos:
e
Caso 3:
- Da primeira equação:
- Substituindo na restrição:
- Pontos:
e
Resposta
Os pontos que maximizam e minimizam a função
sob a restrição
são
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Máximos e Mínimos: (q) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (h) Dada a função
e
e
, encontre
.
Máximos e Mínimos: (l) Para a função
, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Máximos e Mínimos: § Dada a função
, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.