Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função e a restrição , determine os valores de que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos, dado que está sujeita à restrição . Esse método é útil para otimizar uma função quando há uma condição que relaciona as variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Eles ajudam a encontrar os extremos (máximos ou mínimos) de uma função sujeita a uma restrição . Para isso, criamos uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina e a restrição com um multiplicador .

Passo 3

Vamos definir a Lagrangiana para o nosso problema:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero:
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as equações resultantes:
  1. Da primeira equação:
Então, ou , ou .
  1. Da segunda equação:
Então, ou , ou .
  1. Da terceira equação:
Essa é a restrição que temos.

Passo 6

Vamos considerar os casos possíveis:
Caso 1:
  • Substituindo na restrição:
  • Pontos: e
Caso 2:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na restrição:
  • Pontos: e
Caso 3:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na restrição:
  • Pontos: e

Resposta

Os pontos que maximizam e minimizam a função sob a restrição são , , e .

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