Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (i) Considere z=h(x, y)=cos (x+y) e x=x(u, v)=u+v e y=y(u, v)=u-v. Encontre partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de x = u + v e y = u - v em relação a e , onde e também dependem de e conforme:
Vamos usar as regras da cadeia para encontrar e . Para isso, precisamos entender como depende de e através das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se uma função partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a é dada por:
E similarmente para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = ddx cos(x + y) = -sin(x + y) em relação a partial zpartial y = ddy cos(x + y) = -sin(x + y) e partial xpartial u = partialpartial u (u + v) = 1 e partial xpartial v = partialpartial v (u + v) = 1 :
partial ypartial u = partialpartial u (u - v) = 1 e partial ypartial v = partialpartial v (u - v) = -1
Agora, encontramos as derivadas das funções e em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial u = (-sin(x + y)) cdot 1 + (-sin(x + y)) cdot 1 = -2sin(x + y) :
partial zpartial v = (-sin(x + y)) cdot 1 + (-sin(x + y)) cdot (-1) = -sin(x + y) + sin(x + y) = 0
E para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = -2sin(x + y)
partial zpartial v = 0

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