Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (i) Considere e e . Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , onde e também dependem de e conforme:
Vamos usar as regras da cadeia para encontrar e . Para isso, precisamos entender como depende de e através das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se uma função depende de e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a é dada por:
E similarmente para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, encontramos as derivadas das funções e em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar :
E para :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Máximos e Mínimos: (o) Para a função , encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Máximos e Mínimos: (j) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Máximos e Mínimos: (k) Dada a função , encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Máximos e Mínimos: (n) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.