Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (i) Considere
e
e
. Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
e
também dependem de
e
conforme:
Vamos usar as regras da cadeia para encontrar
e
. Para isso, precisamos entender como
depende de
e
através das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se uma função
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por:
E similarmente para
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, encontramos as derivadas das funções
e
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
:
E para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Máximos e Mínimos: (o) Para a função
, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
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. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
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, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
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. Encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.