Máximos e Mínimos: (k) Dada a função f(x, y) = x^3 - 3 x y^2, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar os pontos críticos da função e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Isso está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e, depois, analisar essas soluções para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas são iguais a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação, , temos duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto crítico é .
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Então, novamente, o ponto crítico é .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto :
O discriminante é dado por:
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos de outro método para classificar o ponto . Observando a função , percebemos que:
  • Se , , que tem um ponto de inflexão em .
  • Se , , uma constante.
Isso indica que é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é , e ele é um ponto de sela.

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