Máximos e Mínimos: (k) Dada a função
, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Isso está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e, depois, analisar essas soluções para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas são iguais a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da segunda equação,
, temos duas possibilidades: -
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto crítico é
.
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Então, novamente, o ponto crítico é
.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar o ponto crítico
usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto
:
O discriminante
é dado por:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos de outro método para classificar o ponto
. Observando a função
, percebemos que:
- Se
, , que tem um ponto de inflexão em . - Se
, , uma constante.
Isso indica que
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função
é
, e ele é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (i) Considere
e
e
. Encontre
e
.
Máximos e Mínimos: (o) Para a função
, encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Máximos e Mínimos: (n) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: © Dada a função
e a restrição
, determine os pontos de máximo e mínimo usando o método dos multiplicadores de Lagrange.